Kerapatan Fluks Listrik

Fluksi elektrik ψ merupakan medan saklar namun kerapatannya D merupakan medan vektor. Per definisi fluksi elektrik ψ memancar dari sebuah muatan positif dan berakhir pada muatan negatif. Jika tidak terdapat muatan negatif fluksi elektrik ψ akan berakhir pada titik tak berhingga. Per definisi pula satu coulomb muatan listrik akan menghasilkan satu coulomb fluksi elektrik. Oleh karenanya,

Ψ = Q (C)

Ψ = Q

A = A (Q)        è        A = A^x (Ψ)

B = B (Ψ)        è        B = B^x (Q)

Pada Gambar 2.17(a), garis-garis fluksi meninggalkan +Q dan berakhir pada –Q hal ini mengasumsikan bahwa kedua muatan memiliki magnituda yang sama. Kasus muatan positif tanpa muatan negatif diilustrasikan pada gambar 2.17(b), di sini garis-garis fluksi digambarkan sama di sepanjang wilayah angular yang mengelilingi muatan dan berakhir pada titik tak hingga.

Pada suatu titik yang berdekatan P, garis-garis fluksi memiliki arah vector satuan a (Gambar 2.18) dan jika sejumlah fluksi  Ψ memotong diferensial permukaan dS (yang normal terhadap a), maka kerapatan fluksi elektrik pada titik P adalah

Distribusi muatan volume dengan kerapatan ρ (C/m3) diperlihatkan sebagai permukaan tertutup S pada Gambar 2.19. Oleh karena setiap coulomb muatan Q memiliki satu coulomb fluksi, maka fluksi total yang memotong permukaan tertutup S merupakan ukuran eksak dari muatan total yang dilingkupi. Jika pada elemen permukaan dS, D membentuk sudut θ terhadap vektor satuan normal permukaan an, maka diferensial fluksi yang memotong dS adalah

d Ψ = D dScos q =D • dS an  = D • dS

di mana dS adalah elemen permukaan vektor. Hukum Gauss menyatakan bahwa fluksi total yang keluar dari sebuah permukaan tertutup adalah sama dengan muatan total yang berada di dalam permukaan tersebut. Bentuk integral Hukum Gauss diberikan oleh

d Ψ = D dScos q =D • dS an  = D • dS

Pandanglah sebuah muatan titik yang terletak di titik pusat koordinat Gambar berikut ini

Jika muatan ini dilingkupi oleh sebuah permukaan bola dengan jari-jari r, maka dengan menggunakan sifat kesimetrian, D yang diakibatkan oleh Q adalah memiliki  magnituda yang konstan dan normal terhadap bidang permukaan di posisi manapun. Dengan menggunakan hukum Gauss (9), dapat diperoleh persamaan

dimana dapat diperoleh D = Q/4pr2. Oleh karena itu,

Sehingga dapat disimpulkan

Contoh Soal 3.1

Suatu muatan garis sebesar 8 nC/m terletak di sumbu z. Hitung rapat fluks listrik di r = 3 m

Hukum Gauss

“Jumlah garis medan yang menembus suatu permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup tersebut”.

Hukum Gauss dapat digunakan dengan dua cara:

1. Jika distribusi muatan mempunyai simetri yang cukup untuk menghitung integral dalam hukum Gauss, maka kita dapat mencari medan listrik tersebut.
2. Jika medan listrik diketahui, maka hukum Gauss dapat digunakan untuk mencari muatan pada permukaan konduktor.

ContohSoal 3.2

Diketahuirapatflukslistrik :

a). Hitungmedanlistrik di r = 0,2 m

b). Hitungmuatan total di dalam bola r = 0,2 m 

Hubungan Hukum Gauss Dan Coulumb

• Misalkan terdapat sebuah muatan titik q dan sebuah permukaan tertutup berupa bola berjari-jari r

•  Dari hukum Gauss diperoleh :
• Karena simetris, E konstan diseluruh permukaan sehingga :

•  Dengan demikian :

• Hukum Gauss adalah cara lain untuk menyatakan hukum Coulomb

SIMETRI SILINDER

Misalkan terdapat muatan garis tak hingga dengan rapat muatan l

Dipilih permukaan Gauss berupa silinder setinggi h dan berjari-jari r dengan sumbu yang terletak pada muatan garis

Medan listrik seragam menembus selimut silinder dan tidak ada fluks yang menembus tutup atas dan tutup bawah silinder

Dari hukum Gauss diperoleh :

SIMETRI BOLA

Misalkan terdapat sebuah kulit bola bermuatan q yang terdistribusi seragam diseluruh permukaannya

Dipilih dua permukaan Gauss berupa bola S₁ yang berjari-jari < R dan bola S₂ yang berjari-jari ³ R

Dari hukum Gauss diperoleh :

Teorema Divergensi Dan Persamaan I Maxwell

Divergensi dari suatu medan vektor A disuatu titik, didefinisikan sebagai:

Artinya:

Divergensi vektor kerapatan fluks A ialah banyaknya aliran fluks yang keluar dari sebuah permukaan tertutup persatuan volume yang menuju ke nol.

Divergensi kerepatan medan D:

jika volume diferensial koordinat kartesian (dxdydz), volume diferensial dalam koordinat tabung (rdrdfdz) atau koordinat bola (r²sinqdrdqdf), maka pernyataan disebut yang mengandung turunan parsial terhadap peubah dari sistem yang bersangkutan akan diperoleh rumusan sbb:

Medan Listrik di Antara Dua Keping Sejajar

Pada dua keping sejajar yang mempunyai muatan listrik sama, tetapi berlawanan jenisnya, antara kedua keping tersebut terdapat medan listrik homogen. Di luar kedua keping juga terdapat medan listrik yang sangat kecil jika dibandingkan dengan medan listrik di antara kedua keping, sehingga dapat diabaikan, seperti pada Gambar 7.

Gambar 7. Medan litrik di antara dua keping sejajar.

Jika luas keping A, masing-masing keping bermuatan +q dan -q, medan listrik dinyatakan oleh banyaknya -gaya, sedangkan garis-garis gaya dinyatakan sebagai jumlah muatan yang menimbulkan garis gaya tersebut (Hukum Gauss). Muatan listrik tiap satu satuan luas keping penghantar didefinisikan sebagai rapat muatan permukaan diberi lambang σ (sigma), yang diukur dalam C/m².

Sehingga, kuat medan listrik antara kedua keping sejajar adalah:

E = σ / ε₀ ………………………………………………….. (11)

dengan:

E = kuat medan listrik (N/C)

σ = rapat muatan keping (C/m²)

ε₀ = permitivitas ruang hampa = 8,85 × 10^-12 C/Nm²

Contoh Soal 1 :

Bola konduktor dengan jari-jari 10 cm bermuatan listrik 500 μC. Titik A, B, dan C terletak segaris terhadap pusat bola dengan jarak masing-masing 12 cm, 10 cm, dan 8 cm terhadap pusat bola. Hitunglah kuat medan listrik di titik A, B, dan C!

Penyelesaian:

Diketahui:

R = 10 cm = 10^-1 m

r_B = 10 cm = 10^-1 m

q = 500 μC = 5 × 10^-4 C

r_C = 8 cm = 8 × 10^-2 m

r_A = 12 cm = 12 × 10^-2 m

Ditanya:

a. E_A = … ?

b. E_B = … ?

c. E_C = … ?

Pembahasan :

a. Kuat medan listrik di titik A

b. Kuat medan listrik di titik B

c. Kuat medan listrik di titik C

E_C = 0, karena berada di dalam bola, sehingga tidak dipengaruhi muatan listrik.

Contoh Soal 2 :

Sebuah bola kecil bermuatan listrik 10 μC berada di antara keping sejajar P dan Q dengan muatan yang berbeda jenis dengan rapat muatan 1,77 × 10^-8 C/m². Jika g = 10 m/s² dan permitivitas udara adalah 8,85 × 10^-12 C²/Nm², hitung massa bola tersebut!

Penyelesaian:

Diketahui:

q = 10 μC = 10^-5 C

σ = 1,77 × 10^-8 C/m²

g = 10 m/s²

ε₀ = 8,85 × 10^-12 C²/Nm²

Ditanya: m = … ?

Pembahasan :

Dari gambar di atas, syarat bola dalam keadaan setimbang adalah jika :

F = w

q.E = m.g